Ce résultat est porte le nom du mathématicien persan du début du XVe siècle  al-Kâshî. Appelé aussi « loi des cosinus », il généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles. Le théorème d'al-Kâshî s'énonce ainsi :

Soit ABC un triangle et soit α une mesure (en radians) de l’angle au sommet A. Alors

• AB² + AC² = BC² + 2AB AC cos(α)

La fiche (pdf) rédigée pour la Nuit Européenne des Chercheurs 2016 présente la biographie d'al-Kâshî et liste ses contributions scientifiques les plus importantes ; elle détaille le lien entre son théorème et celui de Pythagore et prouve le théorème d'al-Kâshî à partir des relations trigonométriques dans le triangle rectangle (dont on peut aussi déduire le théorème de Pythagore), dans le cas où l'angle au sommet A est aigu, c’est-à-dire de mesure inférieure ou égale à celle de l’angle droit.

On donne ici une preuve analogue à celle de la fiche dans le cas où l’angle au sommet A est obtus, c’est-à-dire de mesure supérieure ou égale à celle de l’angle droit. Le pied H de la hauteur issue de B, qui se trouve sur la droite (AC), n'appartient alors pas au segment [AC] (il n'est pas situé entre A et C). On a donc CH = AC + AH.

Les triangles AHB et BHC sont rectangles en H donc

• AB² = AH² + BH²      et      BC² = BH² + CH²

si bien que

• AB² - BC² = AH² - CH² = (AH – CH) (AH + CH)= - AC (AH + CH)

Or on a maintenant

• AH = cos(π - α) AB  = - cos(α) AB      et     AH + CH = 2 AH + AC

donc

• AB² - BC² = - AC ( - 2 cos(α) AB + AC) = 2 cos(α) AB AC - AC²

et le résultat suit.