Algorithmes pour géométrie et arithmétique (E.R.R. - E.A.T.)

Objectif : concevoir des algorithmes de construction de figures géométriques à signification arithmétique ; conception de séquences pour la classe autour des thèmes : algorithmique, constructions de figures géométriques, arithmétique au niveau collège (divisibilité, nombres premiers) et lycée (terminale S : racines de l'unité - spé maths : pgcd, entiers premiers entre eux, congruences, théorème de Gauss).

Contenu : on étudiera des algorithmes de réalisation de figures géométriques qu'on mettra en oeuvre en utilisant divers logiciels (Scratch, Geogebra,...). Ils devront pouvoir être utilisés en classe pour faire travailler aux élèves les protocoles de construction de figures, l'utilisation de logiciels de géométrie dynamique et de programmation, les notions d'angles et de longueur. Les figures visées sont des rosaces qui permettront de travailler les notions de symétrie et de rotation ; elles permettent aussi de donner une signification géométrique aux notions de base de l'arithmétique : divisibilité et nombres premiers. Toutes ces notions apparaissent dans diverses rubriques des nouveaux programmes du cycle 4 au collège ; l'algorithmique pour la construction de tracés apparaît dans les programmes du cycle 3. Au niveau lycée, on pourra aborder les notions de pgcd et de congruences et démontrer certains théorèmes (notamment le théorème de Gauss). On pourra enfin interpréter les sommets des figures tracées en termes de nombres complexes pour illustrer la notion de racines de l'unité. 

Lieu : Lycée Edmond Perrier à Tulle

Membres :
DUFOUR Jérôme, collège Georges Cabanis à Brive
GUILLOU Patrick, collège Pierre de Ronsard à Limoges
MADELMONT Bernard, lycée Edmond Perrier à Tulle
SOLIGNAC Marie-Josée, collège d'Argentat  
VINATIER Stéphane, Faculté des Sciences et Techniques à Limoges

Dates des réunions : 18/10/17, 15/11/17, 17/01/18, 28/02/18 et 04/04/18

 

Production

Animation d'un stage de formation continue inscrit au PAF de l'académie de Limoges le jeudi 17 mai 2018 : introduction au logiciel Scratch, application au tracé de figures géométriques (polygones réguliers convexes ou étoilés) et interprétation arithmétique (nombres premiers entre eux, diviseurs, pgcd…). Présentation de fiches d'activité niveau collège et lycée.

Document d'accompagnement : Une géométrie de l’ordre et de la situation au XIXe siècle. Polygones et théorie des nombres chez Louis Poinsot, par Jenny Boucard (Université de Nantes) sur le site Images des Mathématiques

 

Diaporama [pdf] pour la réunion bilan du 15 juin 2017

Deux versions d'un algorithme pour tracer des polygones réguliers étoilés (à ouvrir avec Scratch) :

  • etoiles.sb2: deux variables (nombre de côtés, pas), longueur des côtés adaptée à la taille de la figure ; algorithme simple mais justification plus complexe (formules de trigonométrie,...)
  • Tulle.sb2 : deux variables (nombre de côtés, pas), longueur des côtés fixe ; création de deux listes pour les abscisses et ordonnées des sommets ; algorithme plus long mais plus facile à justifier